【导数的公式表达】导数是微积分中的核心概念之一，用于描述函数在某一点处的变化率。在数学、物理、工程等众多领域中，导数的应用非常广泛。掌握常见的导数公式对于理解和解决实际问题具有重要意义。以下是对常见导数公式的总结，并以表格形式展示。
一、基本导数公式
1. 常数函数
若 $ f(x) = C $（C为常数），则
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $（n为实数），则
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 指数函数
- 若 $ f(x) = a^x $，则
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
- 若 $ f(x) = e^x $，则
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数
- 若 $ f(x) = \log_a x $，则
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
- 若 $ f(x) = \ln x $，则
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数
- 若 $ f(x) = \sin x $，则
$$
f'(x) = \cos x
$$
- 若 $ f(x) = \cos x $，则
$$
f'(x) = -\sin x
$$
- 若 $ f(x) = \tan x $，则
$$
f'(x) = \sec^2 x
$$
6. 反三角函数
- 若 $ f(x) = \arcsin x $，则
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- 若 $ f(x) = \arccos x $，则
$$
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- 若 $ f(x) = \arctan x $，则
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、导数运算法则
| 运算类型 | 公式表达 |
| 和差法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 积法则 | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 复合函数法则（链式法则） | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、常用导数公式表
| 函数形式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、结语
导数的公式表达是学习微分学的基础，掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，也能加深对函数变化规律的理解。在实际应用中，灵活运用导数的运算法则和基本公式，可以更高效地分析和解决复杂问题。
