【正定矩阵的定义】在数学，尤其是线性代数中，正定矩阵是一个非常重要的概念，广泛应用于优化、统计学、物理学和工程学等领域。正定矩阵不仅具有良好的数学性质，还能保证某些算法的稳定性和收敛性。以下是对正定矩阵的简要总结，并通过表格形式展示其关键特征。
一、正定矩阵的定义
一个 n×n 的实对称矩阵 A 被称为 正定矩阵，如果对于所有非零向量 x ∈ ℝⁿ，都有：
$$
x^T A x > 0
$$
这个条件意味着，无论选择什么样的非零向量，经过矩阵 A 变换后的二次型始终为正。这是判断矩阵是否为正定的核心标准。
二、正定矩阵的判定方法
除了上述基本定义外，还可以通过以下几种方式来判断一个矩阵是否为正定矩阵：
| 判定方法 | 说明 |
| 二次型正定 | 对于所有非零向量 x，xᵀAx > 0 |
| 特征值全为正 | 矩阵的所有特征值 λ_i > 0 |
| 主子式全为正 | 所有顺序主子式（即左上角 k×k 子矩阵的行列式）都大于 0 |
| Cholesky 分解存在 | 矩阵可以分解为 A = L Lᵀ，其中 L 是下三角矩阵且对角线元素为正 |
三、正定矩阵的性质
| 性质 | 描述 |
| 对称性 | 正定矩阵必须是实对称矩阵 |
| 可逆性 | 正定矩阵一定是可逆的，且逆矩阵也是正定的 |
| 正定性保持 | 若 A 和 B 都是正定矩阵，则它们的和 A + B 也是正定的 |
| 乘积性质 | 若 A 是正定矩阵，B 是任意可逆矩阵，则 BᵀAB 也是正定矩阵 |
四、正定矩阵的应用
正定矩阵在多个领域中都有重要应用，包括但不限于：
- 优化问题：目标函数的 Hessian 矩阵正定时，表示该点是局部极小值点。
- 统计学：协方差矩阵通常是正定的，用于描述随机变量之间的关系。
- 数值分析：正定矩阵在求解线性方程组时具有良好的数值稳定性。
- 机器学习：在支持向量机、高斯过程等模型中，正定核矩阵是关键构造。
五、示例
考虑以下矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
计算其特征值：
$$
\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)
$$
因此，特征值为 1 和 3，均为正数，故 A 是正定矩阵。
六、总结
正定矩阵是一种特殊的对称矩阵，其核心特征是所有非零向量与矩阵相乘后的二次型结果为正。正定矩阵在理论和实际应用中都具有重要意义，尤其在优化、统计和数值计算中广泛应用。通过特征值、主子式或二次型等方法可以有效判断矩阵是否为正定矩阵。
